什么是向量？

萧山财神

向量（Vector）是数学和物理学中的一个基本概念，用于描述具有大小和方向的量。向量在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学和图形学等。在2D和3D游戏开发中，向量是处理位置、速度、加速度、力等物理量的基础工具。

向量的表示

在二维空间中，向量通常表示为一个有序对 ((x, y))，其中 (x) 和 (y) 是向量在水平方向和垂直方向上的分量。例如，向量 ((3, 4)) 表示一个从原点 ((0, 0)) 到点 ((3, 4)) 的向量。

在三维空间中，向量表示为一个有序三元组 ((x, y, z))，其中 (x)、(y) 和 (z) 是向量在三个正交方向上的分量。

向量的基本操作

1. 向量加法：将两个向量相加，得到一个新的向量。向量加法是逐分量相加的。 [ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y) ]
2. 向量减法：将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。向量减法是逐分量相减的。 [ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y) ]
3. 标量乘法：将向量的每个分量乘以一个标量（数值），得到一个新的向量。 [ k \cdot \mathbf{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y) ]
4. 点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，表示为两个向量对应分量的乘积之和。 [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y ]
5. 向量长度（模）：向量的长度是从原点到向量终点的距离，可以通过勾股定理计算。 [ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} ]
6. 单位向量：将向量除以其长度，得到一个长度为1且方向相同的向量。 [ \hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} ]

向量在游戏开发中的应用

1. 位置和移动：向量用于表示游戏对象的位置和移动。例如，角色的位置可以表示为一个向量，角色的移动可以通过向量加法来实现。
2. 速度和加速度：向量用于表示速度和加速度。速度向量表示对象的移动方向和速度，加速度向量表示速度的变化。
3. 碰撞检测：向量用于计算对象之间的距离和方向，从而实现碰撞检测和响应。
4. 物理模拟：向量用于表示力和运动方程，模拟物理现象如重力、弹力和摩擦力。

示例代码

以下是一些用 Lua 实现的向量操作示例：

-- 定义向量结构
Vector = {}
Vector.__index = Vector

function Vector:new(x, y)
    local vec = {x = x, y = y}
    setmetatable(vec, Vector)
    return vec
end

-- 向量加法
function Vector:add(other)
    return Vector:new(self.x + other.x, self.y + other.y)
end

-- 向量减法
function Vector:subtract(other)
    return Vector:new(self.x - other.x, self.y - other.y)
end

-- 标量乘法
function Vector:scale(scalar)
    return Vector:new(self.x * scalar, self.y * scalar)
end

-- 向量点积
function Vector:dot(other)
    return self.x * other.x + self.y * other.y
end

-- 向量长度
function Vector:length()
    return math.sqrt(self.x * self.x + self.y * self.y)
end

-- 单位向量
function Vector:normalize()
    local len = self:length()
    if len > 0 then
        return self:scale(1 / len)
    else
        return Vector:new(0, 0)
    end
end

-- 测试向量操作
local v1 = Vector:new(3, 4)
local v2 = Vector:new(1, 2)

local v3 = v1:add(v2)
print("v1 + v2 = (" .. v3.x .. ", " .. v3.y .. ")")

local v4 = v1:subtract(v2)
print("v1 - v2 = (" .. v4.x .. ", " .. v4.y .. ")")

local v5 = v1:scale(2)
print("v1 * 2 = (" .. v5.x .. ", " .. v5.y .. ")")

local dotProduct = v1:dot(v2)
print("v1 . v2 = " .. dotProduct)

local length = v1:length()
print("Length of v1 = " .. length)

local v6 = v1:normalize()
print("Normalized v1 = (" .. v6.x .. ", " .. v6.y .. ")")

这个示例代码展示了如何在 Lua 中定义和操作向量，包括向量加法、减法、标量乘法、点积、长度和单位向量等基本操作。向量是游戏开发中的重要工具，理解和掌握向量操作对于实现复杂的游戏逻辑和物理效果至关重要。