使用lua实现各种算法，先从贝塞尔曲线开始

萧山财神

接下来我们可以实现一种在2D游戏中常用的算法：贝塞尔曲线（Bezier Curve）。贝塞尔曲线是一种用于绘制平滑曲线的数学工具，广泛应用于计算机图形学、动画、路径规划等领域。

贝塞尔曲线简介

贝塞尔曲线由一组控制点定义，曲线的形状由这些控制点决定。最常见的贝塞尔曲线是二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。

1. 二次贝塞尔曲线：由三个控制点 (P_0)、(P_1) 和 (P_2) 定义。 [ B(t) = (1 - t)^2 P_0 + 2(1 - t)t P_1 + t^2 P_2, \quad t \in [0, 1] ]
2. 三次贝塞尔曲线：由四个控制点 (P_0)、(P_1)、(P_2) 和 (P_3) 定义。 [ B(t) = (1 - t)^3 P_0 + 3(1 - t)^2 t P_1 + 3(1 - t)t^2 P_2 + t^3 P_3, \quad t \in [0, 1] ]

示例代码

以下是用 Lua 实现的二次和三次贝塞尔曲线：

-- 定义向量结构
Vector = {}
Vector.__index = Vector

function Vector:new(x, y)
    local vec = {x = x, y = y}
    setmetatable(vec, Vector)
    return vec
end

function Vector:scale(scalar)
    return Vector:new(self.x * scalar, self.y * scalar)
end

function Vector:add(other)
    return Vector:new(self.x + other.x, self.y + other.y)
end

-- 二次贝塞尔曲线
function quadraticBezier(p0, p1, p2, t)
    local u = 1 - t
    local tt = t * t
    local uu = u * u

    local p = p0:scale(uu)
    p = p:add(p1:scale(2 * u * t))
    p = p:add(p2:scale(tt))

    return p
end

-- 三次贝塞尔曲线
function cubicBezier(p0, p1, p2, p3, t)
    local u = 1 - t
    local tt = t * t
    local uu = u * u
    local ttt = tt * t
    local uuu = uu * u

    local p = p0:scale(uuu)
    p = p:add(p1:scale(3 * uu * t))
    p = p:add(p2:scale(3 * u * tt))
    p = p:add(p3:scale(ttt))

    return p
end

-- 测试贝塞尔曲线
local p0 = Vector:new(0, 0)
local p1 = Vector:new(1, 2)
local p2 = Vector:new(3, 3)
local p3 = Vector:new(4, 0)

print("二次贝塞尔曲线:")
for t = 0, 1, 0.1 do
    local point = quadraticBezier(p0, p1, p2, t)
    print(string.format("t=%.1f: (%.2f, %.2f)", t, point.x, point.y))
end

print("三次贝塞尔曲线:")
for t = 0, 1, 0.1 do
    local point = cubicBezier(p0, p1, p2, p3, t)
    print(string.format("t=%.1f: (%.2f, %.2f)", t, point.x, point.y))
end

在这个实现中：

1. Vector 结构表示一个二维向量，包含基本的向量操作如缩放和加法。
2. quadraticBezier 函数实现二次贝塞尔曲线，接受三个控制点和参数 (t) 作为输入，返回曲线上对应的点。
3. cubicBezier 函数实现三次贝塞尔曲线，接受四个控制点和参数 (t) 作为输入，返回曲线上对应的点。
4. 测试代码定义了一组控制点，并调用 quadraticBezier 和 cubicBezier 函数计算曲线上不同 (t) 值对应的点，输出结果。

贝塞尔曲线在2D游戏中的路径规划、动画插值、图形绘制等方面有广泛应用。它能够生成平滑的曲线，适用于各种需要平滑过渡的场景。